Hier findet man einige Beispiele für Konstruktionen mit Hilfe interaktiver Geometrie-Programme, wie sie unter anderem in der Cinderella-AG im Schuljahr 2004/05 erstellt wurden. Auf dieser Seite wurde jedoch nicht Cinderella sondern das Programm Zirkel und Lineal von Dr. Rene Grothmann verwendet. Weitere Geometrie-Programme findet man auf der Seite Software.
Folgende Beispiele stehen zur Zeit zur Verfügung:
Inhalt dieser Seite
Umkreis des Dreiecks
Der Satz vom Seitenmittenviereck
Der Satz vom Umfangswinkel
Der Satz des Pythagoras und seine Erweiterung
Wie man in der 7. Klasse lernt, schneiden sich die Mittelsenkrechten in einem Dreieck in einem Punkt. Dieser Punkt ist der Umkreis des Dreiecks. Dies kann man an dem folgenden Applet sehr einprägsam nachvollziehen. Man klicke dazu zuerst auf das Objekt-bewegen-Symbol oben links und danach auf einen der Randpunkte A, B oder C des Dreiecks und bewege diesen bei gedrückter linker Maustaste umher.
Ausgehend von einer solch einfachen Konstruktion lassen sich nun weitere Fragen aufwerfen, die ein tieferes Verständnis weiterer geometrischer Sachverhalte liefern:
- Unter welchen Bedingungen liegt der Umkreismittelpunkt M innerhalb des Dreiecks, wann liegt er außerhalb und wann liegt er auf einer Seite des Dreiecks?
- Wenn der Umkreismittelpunkt M auf einer Seite des Dreiecks liegt: Welche Seite ist dies? Wo genau auf dieser Seite liegt M?
- Gilt auch die Umkehrung: Zeichnet man über einer Strecke AB einen Halbkreis, dessen Mittelpunkt der Mittelpunkt der Strecke AB ist, so ist das Dreieck ABC für jeden Punkt C auf dem Halbkreis ein rechtwinkliges Dreieck. (Dieser Satz heißt "Satz des Thales")
Selbstverständlich lässt sich an dieser Stelle ein solches Werkzeug nur didaktisch sinnvoll einsetzen, wenn vorher die Mittelsenkrechte einer Strecke AB als die Menge aller Punkte eingeführt wurde, die von den Punkten A und B den gleichen Abstand haben.
Der Satz vom Seitenmittenviereck
Welche Figur erhält man, wenn man die Mittelpunkte der Seiten eines beliebigen Vierecks miteinander verbindet? Man untersuche dies an folgendem Applet. Klicke dazu auf das Objekt-bewegen-Symbol (in der Mitte) und verschiebe anschließend einen der Eckpunkte des Vierecks, indem Du ihn anklickst und bei gedrückter Maustaste bewegst.
Das Ergebnis ist folgendes: Das Seitenmittenviereck eines beliebigen Vierecks ist ein Parallelogramm. Dieser Satz heißt auch "Satz von Varignon".
Um herauszubekommen, warum dies so ist, zeichne die Diagonalen AC und BD ein. Dazu klicke auf das Strecken-Symbol und klicke zuerst den Anfangs- und dann den Endpunkt der Strecke an. Man kann eine Diagonale anschließend wieder löschen, indem man das Löschen-Symbol und anschließend das zu löschende Objekt anklickt. Na, hast Du die Lösung? Wenn nicht, hier ein Hinweis: Suche nach Strahlensatzfiguren!
Der Winkel BMA (Mittelpunktswinkel), unter dem eine beliebige Sehne s vom Mittelpunkt aus erscheint, ist doppelt so groß wie der Winkel BSA (Peripheriewinkel), unter dem die Sehne s von einem beliebigen Punkt S der Kreisperipherie erscheint.
Lösungshinweis: Zeichne die Strecke MS ein. Nun hat man drei Dreiecke. Welcher Art sind diese? Nutze diese Erkenntnis aus, um über den Winkelsummensatz im ebenen Dreieck eine Aussage über den Mittelpunktswinkel BMA und über den Peripheriewinkel BSA zu erhalten.
Der Satz des Pythagoras und seine Erweiterung
Der vermutlich bekannteste Satz aus der Geometrie ist der Satz des Pythagoras, der dem Griechen Pythagoras von Samos (lebte etwa im 6. Jahrhundert v.Chr.) zugeschrieben wird. Allein die Vielzahl der existierenden Beweise dieses Satzes - es sollen mehrere hundert sein - macht ihn so interessant. Seine Aussage ist die folgende:
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypothenusenquadrat. In einem rechtwinkligen Dreieck, in dem c die Hypotenuse und a und b die Katheten sind, gilt: a2+b2=c2.
An dem folgenden Applet kann man diese Aussage anschaulich überprüfen. In den Quadraten über den Dreiecksseiten sind die jeweiligen Quadrate der Seitenlängen (in willkürlichen Einheiten) abzulesen. Bewegt man den Punkt C entlang des unsichtbaren) Halbkreises, bleibt die Hypotenuse und damit das Hypotenusenquadrat unverändert, die Kathetenquadrate ändern sich jedoch; allerdings so, dass die Summe der beiden Kathetenquadrate stets das Hypotenusenquadrat ergibt.
Es gibt eine interessante Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras: Die Flächengleichheit der Quadrate über den Seiten gilt auch für beliebige zueinander ähnliche Figuren, so zum Beispiel für gleichseitige Dreiecke, wie man an folgendem Applet sehen kann. Für nähere Information ist das Buch PYTHAGORAS - und kein Ende? von Peter Baptist, Klett Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-12-720040-4 empfehlenswert.
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