zuletzt aktualisiert: 25.06.2007

Projekte

Hier findet man eine Übersicht über aktuelle Projekte, die am Fachbereich Mathematik/Informatik der Wald-Oberschule durchgeführt werden.

Übersicht der durchgeführten Projekte
eEducation Berlin Masterplan
Das Euler-Jahr 2007
Interaktive Geometrie-Software
CAS im Leistungskurs Mathematik
Seminarkurs Zahlentheorie
Miet den Prof

eEducation Berlin Masterplan

Euler Am 11. Juni 2007 erhielt die Wald-Oberschule die Zusage der Senatsbildungsverwaltung, als Masterplan Partnerschule am Projekt eEducation Berlin Masterplan teilzunehmen. Am 29. März 2007 hatte sich die Wald-Oberschule mit einer ausführlichen Darstellung des status quo des Computereinsatzes für dieses Projekt beworben. Die Leistung des Senats: Lieferung von 15+1 Laptops an unsere Schule zur Unterstützung der unterrichtlichen Arbeit. Unser Anteil dabei: Entwicklung und Evaluation von Unterrichtsideen und -konzepten, die den Lernprozess mit diesem modernen Medium effektiver und nachhaltiger gestalten. Im Herbst 2007 findet ein Workshop statt, um das weitere Vorgehen (Einbindung des Notebookpools in den laufenden Unterricht, Fortbildung, Vernetzungsbedarf, Erstellung von Unterrichtsmaterialien, Nutzung des Bildungsportals, des Content-Management-Systems (CMS) und des Lern-Management-Systems (LMS)) abzustimmen.

Das Euler-Jahr 2007

Euler Vor 300 Jahren - am 15. April 1707 - wurde der Mathematiker Leonard Euler in Basel (Schweiz) geboren. Der Schüler von Johann Bernoulli I, der ihn - obschon selbst wenig bescheiden - als "mathematicorum princeps" bezeichnete, gilt nach Paul Erdös als der produktivste Mathematiker aller Zeiten. Er hat wertvolle Beiträge nicht nur zur Mathematik sondern auch zur Physik, zur Astronomie, zur Musik und zu den Ingenieurswissenschaften geleistet. Sein Werk "Vollständige Anleitungen zur Algebra" gelten nach der Bibel und Euklids "Elementen" als am dritthäufigsten verbreitete Buch der Welt. Das Jahr 2007 ist das Leonhard-Euler-Jahr und wird vielerorts entsprechend gewürdigt.
Königsberger Brücken Berühmt ist unter anderem Eulers Lösung des Problems der Königsberger Brücken. Euler sollte folgende Frage beantworten: "Ist es möglich, die sieben Brücken über die Pregel in Königsberg so zu überqueren, dass man jede Brücke genau einmal passiert und wieder dort ankommt, wo man gestartet ist (siehe Zeichnung)?" Euler konnte diese Frage nicht nur eindeutig beantworten, er hat auch gleich eine Theorie entwickelt, die in die heutige Graphentheorie mündete. Mit ihrer Hilfe kann man ähnliche Probleme lösen wie z.B. beweisen, dass man das bekannte "Haus vom Nikolaus" nur unten beginnen kann.
Rösselsprung Euler war auch ein begeisterter - und vermutlich sehr guter - Schachspieler. Seine Lösung des Rösselsprungproblems ist berühmt. Die Frage lautet: "Kann ein Springer auf einem beliebigen Feld des Schachbrettes startend sich so bewegen, dass er alle Felder genau einmal besetzt und am Schluss wieder dort ankommt, wo er gestartet ist?" Das Problem hat es im Jahr 2003 sogar in die Fernsehsendung "Wetten, dass?" geschafft, in der eine Kinderwette zu diesem Thema angeboten wurde. Der neunjährige Xaver Neuhäusler wettete, dass er mit verbundenen Augen in der Lage ist, den Springer von einem beliebigen Feld aus über alle Felder zu führen - Spitzenklasse. Das Video dazu kann man sich hier ansehen.
Dieses Jahr soll das Leben Leonhard Eulers an der Wald-Oberschule einer breiten Öffentlichkeit vorgestellt werden. Geplant sind verschiedene Vorträge und Ausstellungen verschiedener Fachbereiche (Mathematik, Musik, Latein, Physik, Geschichte, Kunst, ...). Die Ergebnisse des Seminarkurses Zahlentheorie sind hier zu sehen:

- Der Satz des Fermat-Euler (PDF-Variante einer Powerpoint-Präsentation)
- Ein Film mit Eindrücken von Eulers Wirkungsstätte Berlin

   Das Video kann man sich auch als Datei (wmv) herunterladen.

Des Weiteren kann man sich weitere Informationen zu Leonhard Euler hier finden:

http://www.euler-2007.ch
http://www.et.fh-koeln.de/ia/ma/euler.html

Interaktive Geometrie-Software

Seit mehreren Jahren existieren sehr gute Computerprogramme, die das Erstellen geometrischer Konstruktionen nicht nur sehr einfach machen sondern auch die Gelegenheit bieten, eine einmal erstellte Konstruktion im Nachhinein zu verändern und so nicht nur eine statische Zeichnung sondern eine dynamische Figur zu erhalten, mit deren Hilfe man den Einfluss verschiedener Parameter auf die Konstruktion untersuchen kann. Man gelangt auf diese Weise sehr schnell (und alleine!) zu Vermutungen über geometrische Sachverhalte und Zusammenhänge. Als mittlerweile am Markt etabliertes Programm mag Cinderella dienen, das in der Version 1.4.1 frei verfügbar ist. Mit diesem Programm wurde im Schuljahr 2004/05 eine Cinderella-AG durchgeführt, in der die Schüler die Verwendung des Programmes erlernt haben und eigenständig zu Erkenntnissen gelangen konnten. Ein weiteres Programm, das sich sehr gut für den Einsatz in der Schule eignet, ist das Programm Zirkel und Lineal. Beide Programme eignen sich auch dazu, geometrische Konstruktionen als HTML-Datei zu exportieren, so dass die Konstruktionen z.B. im Internet veröffentlicht werden können. Hier kann man sich einige Beispiele einer solchen Vorgehensweise und die Möglichkeiten der Integration in den Unterricht ansehen.

CAS im Leistungskurs Mathematik

Computer-Algebra-Systeme (CAS) wie z.B. DERIVE verschieben den Schwerpunkt der Anforderungen weg vom Beherrschen von Rechentechniken hin zum Argumentieren und entwerfen mathematischer Modelle. CAS sind in Berlin an einzelnen Schulen bereits seit etwa 10 Jahren im Einsatz, aber erst die aktuellen curricularen Vorgaben für die Oberstufe sowie die ab dem Schuljahr 2006/07 gültigen, neuen Rahmenlehrpläne für die Sekundarstufe II erwähnen CAS explizit. Die zentral gestellten Abituraufgaben im Fach Mathematik ab 2007 werden die Tatsache, dass mittlerweile an vielen Berliner Schulen einzelne Kurse mit CAS-Unterstützung durchgeführt werden, berücksichtigen. Es wird deshalb zu den meisten Aufgaben auch eine Variante mit CAS-Einsatz zur Verfügung stehen. Dies zeigen bereits die Musteraufgaben, die eine Komission entwickelt hat und die die Senatsbildungsverwaltung (SenBWF) zur Verfügung stellt, deutlich.

CAS an der WOS zum ersten
Zum ersten Mal wurde an der WOS der Leistungskurs Mathematik, dessen Schüler 2006 ihr Abitur abgelegt haben, in der gymnasialen Oberstufe durchgehend mit Unterstützung des Computer-Algebra-Systems (CAS) DERIVE unterrichtet. Eine Einführung in das Programm DERIVE fand bereits während des Profilkurses statt. Nicht nur die Semester- sondern auch die Abiturklausur wurde mit DERIVE-Unterstützung geschrieben und konnte deshalb nicht wie alle anderen Abiturklausuren im 2. Stock des Oberstufengebäudes stattfinden, sondern musste in den Computerraum verlegt werden. Dies erforderte auch von Seiten der Schulleitung Aufmerksamkeit und Flexibilität. Zudem mussten zum Teil neue didaktische Konzepte entwickelt werden, da es derzeit nur wenig Unterrichtsmaterial zum CAS-Einsatz gibt. Ein Beispiel einer Klausuraufgabe, die mit DERIVE-Unterstützung gelöst werden sollte, zeigt Teile der neuen Anforderungen. Der Einstieg in den Einsatz von DERIVE geschah stufenweise. So stand z.B. bei den ersten Klausuren DERIVE nur für manche Teile zur Verfügung und erst ab dem 3. Semester konnte DERIVE durchgehend verwendet werden. DERIVE ermöglicht es zudem, reale Probleme wesentlich detaillierter zu modellieren, so dass anwendungsorientierte Fragestellungen wesentlich interessanter gestaltet werden konnten. An manchen Stellen konnte durch den Einsatz von DERIVE der Zugang zu mathematischen Themen (z.B. Eigenwertprobleme) intuitiver gestaltet werden. Hier bietet DERIVE erhebliche Vorteile gegenüber konventionellem Interricht. Eine Übersicht zeigt die DERIVE-bezogenen Themenschwerpunkte im Unterricht und die stufenweise Annäherung an eine DERIVE-Klausur:

  Einsatz von DERIVE und Themenschwerpunkte 1. Klausur 2. Klausur
Profilkurs

Im Unterricht wurde DERIVE punktuell eingesetzt

  • Funktionsplotter (auch für Folgen)
ohne den
Einsatz
von DERIVE 		ohne den
Einsatz
von DERIVE
1. Semester

Im Unterricht wurde DERIVE punktuell eingesetzt

  • Funktionsplotter (auch für Folgen)
  • kritische Betrachtung von Computergraphen
  • Newton-Verfahren und Fixpunktsatz
  • numerische Integration
  • nicht äquidistante Zerlegungen
ohne den
Einsatz
von DERIVE 		teilweiser
Einsatz
von DERIVE
2. Semester

Im Unterricht wurde DERIVE punktuell eingesetzt

  • Approximation experimenteller Daten
  • Extremalaufgaben
  • uneigentliche Integrale
  • Taylor-Approximation
teilweiser
Einsatz
von DERIVE 		teilweiser
Einsatz
von DERIVE
3. Semester

Im Unterricht wurde DERIVE durchgehend eingesetzt

  • Abstandsberechnungen
  • Kurven im Raum
  • Gauss-Operationen (WHITE-BOX-Prinzip)
  • LGS mit 10 und mehr Variablen
  • Umfangreiche Newton-Interpolationen
  • SPLINE-Interpolationen
  • anwendungsorientierte Sichtbarkeitsuntersuchungen
  • anwendungsorientierte Schattenwurfprobleme
  • Rechnen mit großen Matrizen
  • Eigenwerte und Eigenvektoren
durchgehender
Einsatz
von DERIVE 		durchgehender
Einsatz
von DERIVE
4. Semester

Im Unterricht wurde DERIVE durchgehend eingesetzt

  • Bernoulli-Gesetz der großen Zahlen
  • rekursive Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
  • Berechnung beliebiger Konfidenzintervalle
durchgehender
Einsatz
von DERIVE 		durchgehender
Einsatz
von DERIVE

Den Schülern des DERIVE-Leistungskurses wurde ein Evaluationsbogens ausgehändigt, den 8 von 10 Schülern am Ende des 4. Semesters im Sommer 2006 ausgefüllt haben. Seine Auswertung hat unter anderem ergeben, dass die Schüler den Erfolg des DERIVE-Kurses deutlich besser beurteilen als der unterrichtende Lehrer selbst. Als positiv wurde von den Schülern beurteilt, dass anwendungsorientierte Fragestellungen die Inhalte interessanter gemacht haben, dass sich Rechenschritte schnell und sicher durchführen ließen, man leicht Funktionsgraphen zeichnen lassen konnte und durch den Kurs sehr gut auf alle mathematisch-technisch orientierten Studiengänge vorbereitet wurde, in denen der Einsatz von CAS mittlerweile obligatorisch ist. Als negative Konsequenz des DERIVE-Einsatzes führten die Schüler die größere Komplexität der Fragestellungen an und die Schwierigkeit, "den richtigen DERIVE-Befehl auf das richtige Problem anzuwenden".

Aus Lehrersicht sind im Wesentlichen folgende zwei Punkte zu bemängeln: Durch den Einsatz von DERIVE wurde die Förderung rechentechnischer Fähigkeiten vernachlässigt. Auf den ersten Blick scheint das kein Problem zu sein, schließlich kann heute auch kein Schüler mehr Logarithmen aus einer Logarithmentafel herauslesen - und muss es dank der Taschenrechner auch nicht mehr -, ohne dass darunter die mathematischen Fertigkeiten gelitten hätten. Beim Übergang vom konventionellen zum CAS-gestützten Unterricht jedoch scheint das Problem gravierender zu sein: Schließlich ist ein gewisses Maß an Überblick und Rechenfertigkeit notwendig zur Antwort auf die Frage, wie ein Problem überhaupt zu lösen sein könnte. Erst dann kann ein so mächtiges Werkzeug wie DERIVE überhaupt sinnvoll zur Lösung eingesetzt werden. Dann aber zeigt DERIVE seine Stärken: Das Programm "verleitet" dazu, "schnell mal etwas auszuprobieren", wodurch interessierte Schüler wesentlich tiefer in die Materie einsteigen können. Als zweite Schwierigkeit hat sich die unterschiedliche Notation - zum einen im Heft und zum anderen in DERIVE - herausgestellt; sie verwirrte die Schüler zusätzlich. Statt bei Extremalproblemen z.B. zu schreiben, die Gleichung f '(x)=0 sei zu lösen, stand dort die DERIVE-Eingabe SOLVE(DIF(f(x),x,1)=0,x).

Insgesamt ist festzuhalten, dass der Einsatz von DERIVE leistungsstarken Schülern mehr geholfen hat als schwachen. Die Hürde "Computer" hat sich nicht als eine solche herausgestellt, alle Schüler waren recht schnell in der Lage, DERIVE sicher zu bedienen. Dennoch wurde von den Schülern gefordert, dass Computereinsatz im Mathematikunterricht früher erfolgen sollte. Eine Möglichkeit, diesem Wunsch nachzukommen besteht darin, im Rahmen des Wahlpflichtfaches Mathematik, das im Schuljahr 2008/09 erstmals für die dann 9. Klassen durchgeführt wird, die Software DERIVE einzuführen.

CAS an der WOS zum zweiten
Der Leistungskurs Mathematik, dessen Schüler voraussichtlich 2008 ihr Abitur ablegen, soll ebenfalls mit DERIVE-Unterstützung durchgeführt werden. Die Erfahrungen des ersten Durchganges sollen dazu genutzt werden, die Ergebnisse sowohl in Hinblick auf das Erlangen mathematischen Verständnisses als auch im Hinblick auf mathematische Kommunikationsfähigkeit weiter zu verbessern. Um einer Kritik gerecht zu werden, soll z.B. verpflichtend ein "Vokabelheft" eingeführt werden, in das die Schüler DERIVE-Befehle mit genauer Beschreibung der Syntax eintragen und ihren Einsatz anhand mehrerer Beispiele illustrieren. Des weiteren wird verstärkt auf parallelen Einsatz eines CAS und Festigung der mathematisch-technischen Fertigkeiten geachtet.

Einführungen in DERIVE :
Mittlerweile existieren einige gute Einführungen in das Programm DERIVE, die von Schülern z.B. in Partnerarbeit eigenständig bearbeitet werden können. Nur die beiden erstgenannten befassen sich allerdings mit der an der Schule verwendeten Version 5.

Seminarkurs Zahlentheorie

Ab 2007 ist in Berlin eine 5. Prüfungskomponente Teil der Abiturprüfung. Diese kann neben dem Ablegen einer mündlichen Prüfung in besonderer Form auch im Anfertigen einer fachwissenschaftlichen Hausarbeit - auch besondere Lernleistung genannt - bestehen. Die Hausarbeit kann dabei eine Wettbewerbsarbeit sein oder einem beliebigen Kurs zugeordnet werden. Dieser Kurs kann auch ein 2-semestriger Seminarkurs sein, der sich mit besonderen Themenschwerpunkten befasst. Nur wenige Schulen in Berlin haben solche Seminarkurse bisher eingerichtet, da solche Kurse bei der Stundenbedarfsrechnung nicht berücksichtigt werden und eine Schule die drei Wochenstunden für einen Seminarkurs an anderer Stelle einsparen müssen.

Seminarkurs an der WOS zum ersten
An der Wald-Oberschule wurde zu Beginn des Schuljahres 2005/06 neben einem Seminarkurs zum Thema "Shakespeare und seine Zeit", der dem Fach Englisch zugeordnet ist, ein Seminarkurs mit dem Thema "Zahlentheorie" eingerichtet. Der Kurs befasst sich im Kern mit Primzahlen, die als elementare Bausteine der ganzen Zahlen aufgefasst werden können (schließlich lassen sich alle diese Zahlen in nicht weiter zerlegbare Primfaktoren zerlegen). In diesem Zusammenhang werden Themen wie Teilbarkeit, Teilbarkeitsregeln, Euklidischer Algorithmus, Rechnen mit Kongruenzen, kleiner Satz von Fermat, Satz von Fermat und Euler und kryptologische Verfahren wie der RSA-Algorithmus behandelt. Im Folgenden gibt es eine detailliertere Übersicht:

  1. Teilbarkeitsregeln
  2. Vollkommene Zahlen
  3. Vollständige Induktion
  4. Einführung in das Programm ARIBAS mit kleinen Programmieraufgaben
    Beispiel: Die ägyptische Multiplikation
  5. Der euklidische Algorithmus (EA)
    Diesem Thema kommt zentrale Bedeutung zu. Viele nachfolgende Themen bedienen sich des EA.
  6. Der größte gemeinsame Teiler (ggT)
  7. Diophantische Gleichungen mit zwei und mehr Variablen
    Aufgabenbeispiel aus der 1. Klausur: Hein Blöd muss nach getaner Arbeit für die gesamte Belegschaft Beine zählender Wissenschaftler Brötchen (Blödchen?) einkaufen. Er kauft Schrippen zum Preis von 0,18€, Rosinenbrötchen zum Preis von 0,42€ und Roggenbrötchen zum Preis von 0,34€. Insgesamt ersteht er 87 Brötchen und bezahlt dafür 26,46€. Wie viele Brötchen der jeweiligen Sorte kann Hein zu Hause in seiner Einkaufstasche vorfinden, wenn man davon ausgeht, dass alle drei Brötchensorten annähernd gleich gerne gegessen werden?
  8. Kongruenzklassenarithmetik
    oder: Wie kann 9 plus 7 gleich 4 sein?
  9. Kongruenzklassen und prime Restklassen
  10. Rechnen in primen Restklassen
    Es lässt sich z.B. verhältnismäßig einfach die Frage beantworten, wie die drei letzten Ziffern der Zahl 1222973153 lauten.
  11. Der chinesische Restsatz
    Anwendungsbeispiel: Ein einfacher Kartentrick
  12. Primzahlen und Eulersche Phi-Funktion
  13. Asymmetrische Verschlüsselung am Beispiel des RSA-Algorithmus

Um am Ende des Seminarkurses im Sommer 2006 die beteiligten Schüler in die Lage zu versetzen, zu einem ausgewählten Thema der Zahlentheorie eine Hausarbeit anzufertigen, war das Erstellen einer umfangreichen Hausarbeit Thema des Kurses: An verschiedenen Beispielen wurden bereits vorhandene Arbeiten anhand vorgegebener Kriterien untersucht und wesentliche Strukturmerkmale einer Seminararbeit herausgearbeitet. Wesentliche Forderung an die selbst erstellte Hausarbeit ist ein fachübergreifender Aspekt, der bei der Bearbeitung der Themenstellung berücksichtigt werden muss. Am Ende haben sich von den Schülern des Seminarkurses zwei für das Anfertigen einer Hausarbeit im Seminarkurs entschieden. Die beiden Themenstellungen lauten:

Am Ende der Abiturprüfung 2007 werden die Arbeiten, deren Autoren ihr Einverständnis dazu geben, hier veröffentlicht.

Meinung der Kursteilnehmer
Auf einem eigens für den Kurs entwickelten Evaluationsbogen konnten die Schüler ihre Meinung zudem (erstmals) durchgeführten Kurs äußern. Hier einige Äußerungen:

Seminarkurs an der WOS zum zweiten
Auch im Schuljahr 2006/07 wurde - neben einem Seminarkurs im Fach Physik zum Thema "Solarenergie" mit 9 Teilnehmern - wieder der Seminarkurs "Zahlentheorie" im Fach Mathematik mit 8 Teilnehmern durchgeführt. Da sich das Konzept bewährt hat, orientieren sich die Inhalte dabei stark an dem Angebot des vergangenen Jahres (s.o).

Im zweiten Jahr des Seminarkurses haben sich von 8 Teilnehmern 4 für das Schreiben einer dem Kurs "Zahlentheorie" zuzuordnenden Facharbeit entschieden. Zwei davon gehören allerdings eher in das Gebiet der diskreten Mathematik.

Miet den Prof

Die Technische Fachhochschule Berlin bietet seit einigen Jahren unter dem Titel "Miet den Prof" (vielleicht ist auch der ähnlich klingende Titel "Meet den Prof" gemeint) interessante Vorträge aus den Fachgebieten Mathematik, Physik, Chemie und Informatik an, die von Professoren der TFH an den Schulen gehalten werden: Dieses interessante Angebot wurde in diesem Schuljahr schon mehrere Male in Anspruch genommen; die gehaltenen Vorträge standen dabei in der Regel in einem direkten Zusammenhang mit dem Unterricht.


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